پاسخ فعالیت صفحه 115 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۱۵ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت مقدمه‌ای بر مفهوم **حد یک دنباله** در هندسه و استفاده از ویژگی‌های **مثلث متساوی‌الاضلاع** است. 📐 ### ۱. محاسبه محیط مثلث اولیه ($P_{irc}$) * **شکل**: مثلث متساوی‌الاضلاع. * **طول ضلع اولیه ($x_{irc}$)**: $\mathbf{۲}$ واحد. * **محیط ($P_{irc}$)**: مجموع طول سه ضلع. $$P_{irc} = ۳ \times x_{irc} = ۳ \times ۲ = \mathbf{۶}$$ ### ۲. محاسبه اندازه ضلع مثلث جدید ($x_۱$) * **روش ایجاد**: مثلث جدید (رنگ آبی) با وصل کردن **وسط اضلاع** مثلث اولیه به وجود آمده است. * **قضیه خط میانی**: در هر مثلثی، پاره‌خطی که وسط‌های دو ضلع را به هم وصل می‌کند، **موازی** ضلع سوم است و **اندازه آن نصف** ضلع سوم است. * **محاسبه $x_۱$**: طول ضلع مثلث جدید ($x_۱$) نصف طول ضلع مثلث اولیه ($x_{irc}=۲$) است. $$x_۱ = \frac{x_{irc}}{۲} = \frac{۲}{۲} = \mathbf{۱}$$ **نتیجه**: $$\mathbf{P_{irc} = ۶ \quad \text{و} \quad x_۱ = ۱}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۱۵ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت به درک الگوی ایجاد شده در دنباله‌های **طول ضلع** و **محیط** مثلث‌های متساوی‌الاضلاع با ترسیم خطوط میانی می‌پردازد. ### ۱. الگوی طول ضلع ($x_n$) در هر مرحله، طول ضلع نصف طول ضلع مرحله قبل می‌شود. ضابطه کلی آن $\mathbf{x_n = \frac{۱}{۲^{n-۱}}}$ (با فرض $x_۱=۱$) یا $x_n = \frac{۲}{۲^n} = \frac{۱}{۲^{n-۱}}$ است. اما با توجه به جدول که از $x_n=۱$ شروع شده، دنباله $\mathbf{x_n = \frac{۱}{۲^{n-۱}}}$ (با $n=۱$ شروع شده) یا $\mathbf{x_n = \frac{۱}{۲^n}}$ (اگر $x_{irc}=۲$ را شروع بگیریم) خواهد بود. **با توجه به جدول (با شروع از $x_۱=۱$):** $$x_n = ۱, \frac{۱}{۲}, \frac{۱}{۴}, \frac{۱}{۸}, \dots, \mathbf{\frac{۱}{۲^{n-۱}}}$$ *(با فرض اینکه آخرین ستون $\mathbf{x_{n}}$ است، باید $\frac{۱}{۲^{n-۱}}$ باشد.)* ### ۲. الگوی محیط ($P_n$) محیط هر مثلث برابر با سه برابر طول ضلع آن است: $athbf{P_n = 3 x_n}$. * **$x_۳ = \frac{۱}{۴}$**: $P_۳ = 3 x_۳ = ۳ \times \frac{۱}{۴} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$ (در جدول داده شده) * **$x_۴ = \frac{۱}{۸}$**: $P_۴ = 3 x_۴ = ۳ \times \frac{۱}{۸} = \mathbf{\frac{۳}{۸}}$ * **$P_n$ کلی**: $P_n = ۳ \times \frac{۱}{۲^{n-۱}} = \mathbf{\frac{۳}{۲^{n-۱}}}$ ### ۳. تکمیل جدول | $x_n$ | ۱ | $\frac{۱}{۲}$ | $\frac{۱}{۴}$ | $\frac{۱}{۸}$ | $\dots$ | $\frac{۱}{۲^{n-۱}}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P_n$ | **۳** | $\frac{۳}{۲}$ | $\frac{۳}{۴}$ | $\mathbf{\frac{۳}{۸}}$ | $\dots$ | $\mathbf{\frac{۳}{۲^{n-۱}}}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۱۵ حسابان یازدهم سلام! این سوال در مورد **حد** دنباله $\mathbf{x_n}$ (طول اضلاع مثلث) است که در آن $n \to \infty$ (تعداد مراحل به سمت بی‌نهایت می‌رود). 🎯 ### تحلیل دنباله $x_n$ دنباله طول اضلاع به صورت زیر است: $$\mathbf{x_n = ۱, \frac{۱}{۲}, \frac{۱}{۴}, \frac{۱}{۸}, \dots, \frac{۱}{۲^{n-۱}}}$$ با افزایش $n$، مخرج کسر ($۲^{n-۱}$) به طور نامحدود بزرگ می‌شود، در نتیجه، کسر به **صفر** نزدیک می‌شود: $$\mathbf{\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{۱}{۲^{n-۱}} = ۰}$$ **نتیجه**: اندازه اضلاع مثلث‌ها به عدد **صفر** نزدیک می‌شوند. (هر مثلث جدید، بی‌نهایت کوچک می‌شود.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۱۵ حسابان یازدهم سلام! این سوال در مورد **حد دنباله $\mathbf{P_n}$ (محیط مثلث‌ها)** است و همچنین یک مقدمه برای مفهوم **حد تابع** است. 🎯 ### ۱. حد دنباله $P_n$ (محیط) دنباله محیط‌ها به صورت زیر است: $$\mathbf{P_n = ۳, \frac{۳}{۲}, \frac{۳}{۴}, \frac{۳}{۸}, \dots, \frac{۳}{۲^{n-۱}}}$$ با افزایش $n$، مخرج کسر ($۲^{n-۱}$) به طور نامحدود بزرگ می‌شود، در نتیجه، کسر به **صفر** نزدیک می‌شود: $$\mathbf{\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} \frac{۳}{۲^{n-۱}} = ۰}$$ **نتیجه**: اندازه محیط این مثلث‌ها به عدد **صفر** نزدیک می‌شوند. ### ۲. تفسیر حد تابع * **ضابطه تابع**: تابع $f(x) = ۳x$، محیط مثلث را بر حسب طول ضلع آن ($x$) بیان می‌کند. * **تفسیر حد**: همانطور که مشاهده شد، وقتی طول ضلع ($athbf{x}$) به عدد **صفر** نزدیک می‌شود ($athbf{x \to ۰}$)، محیط ($athbf{f(x)}$) نیز به عدد **صفر** نزدیک می‌شود ($athbf{f(x) \to ۰}$). $$\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x) = f(۰) = ۳(۰) = ۰}$$ این یک مثال ساده از مفهوم **حد تابع** است: **حد تابع $f(x)$ در نقطه $a$، همان مقدار تابع در آن نقطه ($f(a)$) است** (در توابع پیوسته مثل این تابع خطی).